Backstepping（反步控制）

  Backstepping（反步控制）是一种设计非线性系统控制器的方法。它通过对子系统的递归方便地求得能使系统稳定的输入。但大多数相关文献中并未考虑系统本身的可控性，因此首先我们假设需要控制的系统是可控的。

基本思想

  Backstepping针对的是能写成如下形式的系统：

$$\begin{cases} \dot{x}_1=x_2+f_1(x_1)\\ \dot{x}_2=x_3+f_2(x_1,x_2)\\ \quad\vdots\\ \dot{x}_i=x_{i+1}+f_i(x_1,x_2,...,x_i)\\ \quad\vdots\\ \dot{x}_n=u+f_n(x_1,x_2,...,x_n) \end{cases}\tag{1}$$

  可以发现该形式的系统有如下特征：状态$x_1$只由$x_1,x_2$决定；状态$x_2$由$x_1,x_2,x_3$决定…以此类推，状态$x_i$由$x_1,x_2…x_{i+1}$决定；而状态$x_n$则由系统的所有状态来决定。
  这对我们就有了一定的启发。对于状态$x_1$来说，它只由本身与$x_2$决定，因此我们可以把它看作整个非线性系统的一个子系统。在这个系统中只需要控制$x_2$便可以使得$x_1$渐近稳定。再对于状态$x_2$来说，它由$x_1,x_2,x_3$决定，我们再将方程组的前两个方程看作一个子系统。此时$x_1$已经渐近稳定，因此我们只需要控制$x_3$便可以使得$x_2$渐近稳定。以此类推，最终我们就可以得到一个输入$u$，使得之前所有的状态$x_1,x_2…x_n$都渐近稳定，那么整个系统就稳定了。
  为了使各个子系统都稳定，我们需要为每个系统设置一个虚拟的控制量，并以此定义一个Lyapunov函数，使得所有子系统的Lyapunov函数都满足渐近稳定条件。
  概括来说，Backstepping的基本思想就是：将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统，然后为每个子系统设计部分Lyapunov函数和中间虚拟控制量，一直“后退”到整个系统，将它们集成起来完成整个控制律的设计。

基于Backstepping控制器设计

  在这里我们不直接给出控制器设计的公式，而是希望以探索的方式来得到并理解它。
  对于任意一个子系统$\dot{x}_i=x_{i+1}+f_i(x_1,x_2,…,x_i)$来说，我们把$x_{i+1}$看作是这个系统的输入量，也就是模拟的控制量（实际上它只是整个系统的一个状态而已），再通过确定适当的虚拟反馈$\alpha_i(i=1,2,…,n-1)$来控制$x_{i+1}$，使得这个子系统达到渐近稳定。而正由于系统是渐近稳定，因此状态与反馈之间会存在着误差。在这里我们引入误差变量$z$，期望通过控制的作用，使得$x_{i+1}$与虚拟反馈$a_i$之间具有某种渐进特性，从而实现整个系统的渐近稳定。
  误差变量$z$的设定如下：

$$\begin{cases} z_1=x_1\\ z_2=x_2-\alpha_1(x_1)\\ \quad\vdots\\ z_i=x_i-\alpha_{i-1}(x_1,x_2,...,x_{i-1})\\ \quad\vdots\\ z_n=x_n-\alpha_{n-1}(x_1,x_2,...,x_{n-1}) \end{cases}\tag{2}$$

  其中$\alpha_i$为虚拟反馈量，也是我们要求解的待定量。对于每一个子系统，我们都会构造一个Lyapunov函数，使得每一个状态分量具有适当的渐近稳定特性。在此我们注意到：对于任意一个误差变量$z_i=x_i-\alpha_{i-1}(x_1,x_2,…,x_{i-1})$，$x_i$与$z_i$的渐近稳定特性是相同的（因为我们在设定这个子系统前已经通过前边的子系统将$x_1$到$x_{i-1}$都控制为渐近稳定了）。因此为了渐近稳定原系统，我们只需要将误差变量$z$渐近稳定即可。而$x_1$由于是第一个子系统的状态量，并没有反馈，因此我们直接将其设为$z_1$。至此，我们设计目标就由$x$的渐近稳定转变为$z$的渐近稳定了。

分部推导

  首先看第一个子系统，将其以$z$为状态表示，得到：

$$\begin{split} \dot{z}_1&=\dot{x}_1\\ &=x_2+f_1(x_1)\\ &=z_2+\alpha_1(x_1)+f_1(x_1) \end{split}\tag{3}$$

  定义该系统的Lyapunov方程：

$$V_1=\frac{1}{2}z_1^2\tag{4}$$

  $V_1$可以算是最简单直接，也是最常见的Lyapunov方程了，我们能够轻易看出它是正定的。但为了使该系统稳定，我们还需要使它的导数为一个负定的函数。将$V_1$求导：

$$\dot{V}_1=z_1\dot{z}_1=z_1z_2+z_1(\alpha_1(x_1)+f_1(x_1))\tag{5}$$

  为了使$\dot{V}_1$负定，我们取：

$$\alpha_1(x_1)=-x_1-f_1(x_1)\tag{6}$$

  由于$z_1=x_1$，因此虚拟反馈$\alpha_1(x_1)$可以使用$z_1$的函数$\tilde{\alpha}_1(z_1)$表示：

$$\alpha_1(x_1)=-z_1-f_1(z_1)\tag{7}=\tilde{\alpha}_1(z_1)$$

  此时：

$$\begin{split} \dot{z}_1&=z_2+\tilde{\alpha}_1(z_1)+f_1(x_1)\\ &=z_2-z_1 \end{split}\tag{8}$$

  将式(7)带入式(5)得到$\dot{V}_1$：

$$\dot{V}_1=-z_1^2+z_1z_2\tag{9}$$

  可以发现，$\dot{V}_1$在$z_2=0$，即$x_2=a_1(z_1)$的条件下为负定，此时该子系统渐近稳定。但一般情况下$z_2\not=0$，因此我们需要对下一个子系统进行设计，使得$z_2$具有期望的渐近特性。
  因此将第二个子系统以$z$为状态表示，由式(2)与式(1)得到：

$$\begin{split} \dot{z}_2&=\dot{x}_2-\frac{\partial\tilde{\alpha}_1}{\partial z_1}\dot{z}_1\\ &=x_3+f_2(x_1,x_2)-\frac{\partial\tilde{\alpha}_1}{\partial z_1}\dot{z}_1\\ &=z_3+\alpha_2(x_1,x_2)+f_2(x_1,x_2)-\frac{\partial\tilde{\alpha}_1}{\partial z_1}\dot{z}_1 \end{split}\tag{10}$$

  由于：

$$\begin{eqnarray} x_1&=&z_1\tag{11}\\ x_2&=&\tilde{\alpha}_1(z_1)+z_2\tag{12}\\ \end{eqnarray}$$

  因此$\alpha_2(x_1,x_2)$与$f_2(x_1,x_2)$可以完全用z1、z2表示。设：

$$\begin{eqnarray} \tilde{\alpha}_2(z_1,z_2)&=&\alpha_2(x_1,x_2)\tag{13}\\ \tilde{f}_2(z_1,z_2)&=&f_2(x_1,x_2)-\frac{\partial\tilde{\alpha}_1}{\partial z_1}\dot{z}_1\tag{14} \end{eqnarray}$$

  带入式(10)得到：

$$\dot{z}_2=z_3+\tilde{\alpha}_2(z_1,z_2)+\tilde{f}_2(z_1,z_2)\tag{15}$$

  和第一个子系统一样，我们需要设置它的Lyapunov方程。该是子系统基于第一个子系统的，它包含了$z_1,z_2$两个状态，因此我们将该系统Lyapunov方程设为：

$$V_2=V_1+\frac{1}{2}z_2^2=\frac{1}{2}z_1^2+\frac{1}{2}z_2^2\tag{16}$$

  同样它也是一个正定函数。对其求导得到：

$$\begin{split} \dot{V}_2&=\dot{V}_1+z_2\dot{z}_2\\ &=-z_1^2+z_1z_2+z_2z_3+z_2(\tilde{\alpha}_2(z_1,z_2)+\tilde{f}_2(z_1,z_2)) \end{split}\tag{17}$$

  在这个子系统中我们使用$z_3$来控制$z_1,z_2$，因此需要将$z_1z_2$这项消去，并且增加一项$-z_2^2$。取：

$$\tilde{\alpha}_2(z_1,z_2)=-z_1-z_2-\tilde{f}_2(z_1,z_2)\tag{18}$$

  此时：

$$\begin{split} \dot{z}_2&=z_3+\tilde{\alpha}_2(z_1,z_2)+\tilde{f}_2(z_1,z_2)\\ &=z_3-z_1-z_2 \end{split}\tag{19}$$

  带入式(17)得到$\dot{V}_2$：

$$\dot{V}_2=-z_1^2-z_2^2+z_2z_3\tag{20}$$

  同样，它在$z_3=0$，即$x_3=\tilde{\alpha}_2(z_1,z_2)$的条件下为负定，此时该子系统渐近稳定。但一般情况下$z_3\not=0$，因此我们需要对下一个子系统进行设计，使得$z_3$具有期望的渐近特性。如此下去我们便得可以得到Backstepping控制器设计的一般公式。

一般形式

  对于第$i$个子系统，我们可以将它表示为：

$$\begin{cases} \tilde{\alpha}_i(z_1,z_2,...,z_i)=-z_{i-1}-z_i-\tilde{f}_i(z_1,z_2,...z_i)\\\\ \dot{z}_i=-z_{i-1}-z_i+z_{i+1}\\\\ \dot{V}_i=-(z_1^2+z_2^2+...+z_i^2)+z_iz_{i+1} \end{cases}\tag{21}$$

  此时我们只需要控制$z_{i+1}$渐进稳定于0就可以了。
  一直重复这个过程，直到最终我们将系统“后退”到整个系统时：

$$\begin{split} \dot{z}_n&=\dot{x}_n-\sum_{i=1}^{n-1}\frac{\partial\tilde{\alpha}_{n-1}}{\partial z_i}\dot{z}_i\\ &=u+f_n(x_1,x_2,...,x_n)-\sum_{i=1}^{n-1}\frac{\partial\tilde{\alpha}_{n-1}}{\partial z_i}\dot{z}_i\\ &=u+\tilde{f}_n(z_1,z_2,...z_n) \end{split}\tag{22}$$

  系统的Lyapunov方程为：

$$V_n=V_{n-1}+\frac{1}{2}z_n^2\tag{23}$$

  $V_{n-1}$为正定函数，因此$V_n$也为正定。将其求导得：

$$\begin{split} \dot{V}_n&=\dot{V}_{n-1}+z_n\dot{z}_n\\ &=-(z_1^2+z_2^2+...+z_{n-1}^2)+z_{n-1}z_n+z_n[u+\tilde{f}_n(z_1,z_2,...z_n)] \end{split}\tag{24}$$

  选取整个系统的输入为：

$$u=\tilde{\alpha}_n(z_1,z_2,...,z_n)=-z_{n-1}-z_n-\tilde{f}_n(z_1,z_2,...z_n)\tag{25}$$

  则由上述关系式(22)、(24)及(25)得：

$$\begin{cases} \dot{z}_n=-z_{n-1}-z_n\\\\ \dot{V}_n=-(z_1^2+z_2^2+...+z_n^2) \end{cases}\tag{26}$$

  可以得到$\dot{V}_n$在$u=-z_{n-1}-z_n-\tilde{f}_n(z_1,z_2,…z_n)$的条件下是负定的，因此误差变量$z$是渐进稳定的，从而得出整个系统是渐近稳定的。至此我们就成功地使用Backstepping设计了一个非线性系统的控制器！

小结

1. Backstepping用来控制结构为(1)的非线性系统。
2. Backstepping是一种由前往后递推的设计方法，通过设置虚拟反馈控制子系统，并且前边的子系统必须通过后边子系统的虚拟控制才能达到稳定，以此层层递推。
3. Backstepping使得控制器的设计过程系统化、结构化。