分布参数系统控制(四):解的存在唯一性

  在求解微分方程的初值问题时,我们通常要考虑解的存在唯一性,以及解受初始条件的影响。一般来说,我们希望问题的解存在且唯一,并且连续地取决于初始条件(通常无法准确得知状态变量初始值,导致实际应用中会产生一定的偏差。因此我们希望当初始值x(0)x(0)微小变化时,x(t)x(t)的变化足够小)。我们称这样的问题为适定性问题(wohlgestelltes Problem)。
  本文的目标就是得到某些条件,并用它们来判断分布参数模型的初值问题是否为适定性问题。系统状态方程如下:

˙x(t)=Ax(t)+Bu(t), t>0, x(0)=x0Xy(t)=Cx(t), t0˙x(t)=Ax(t)+Bu(t), t>0, x(0)=x0Xy(t)=Cx(t), t0(1)(2)

  由于其中数学证明较为困难,因此这里只给出一些结论以及方法。

C0C0半群

引入

  在第三章节式(13)中我们得到了分布参数系统状态变量x(z,t)x(z,t)的通解为:

x(z,t)=i=1eλitϕi(z)xi(0)+i=1t0eλi(tτ)ϕi(z)biTu(τ)dτx(z,t)=i=1eλitϕi(z)xi(0)+i=1t0eλi(tτ)ϕi(z)biTu(τ)dτ(3)

  而集总参数系统中状态变量的通解为:

x(t)=eAtx(0)+t0eA(tτ)bu(τ)dτx(t)=eAtx(0)+t0eA(tτ)bu(τ)dτ(4)

  比较式(3)与式(4)发现它们能表达为统一形式:

x(t)=T(t)x(0)+t0T(tτ)Bu(τ)dτx(t)=T(t)x(0)+t0T(tτ)Bu(τ)dτ(5)

  式(3)中:

T(t)=i=1eλitϕi  ,ψiT(t)=i=1eλitϕi  ,ψi(6)

  式(4)中:

T(t)=eAtT(t)=eAt(7)

  式(6)式(7)有着共同的特性,它们都是C0C0半群。

定义

  C0C0半群是指数函数eAteAt的推广。其定义如下:设XX为Banach空间(有范数的完备空间),{T(t),t0}{T(t),t0}XX上的C0C0半群,当且仅当它满足:
  1. T(0)=IT(0)=IIIXX上的单位元)
  2. T(t+τ)=T(t)T(τ), t0, τ0T(t+τ)=T(t)T(τ), t0, τ0
  3. limt0+||T(t)x0x0||=0, x0Xlimt0+||T(t)x0x0||=0, x0X

  其中条件一、二分别表示C0C0半群存在幺元(单位元)和结合律,只有群的一半性质,因此是一个半群(群性质为:封闭性,结合律,幺元和逆元);条件三表示算子是强连续的。因此C0C0半群也称为强连续算子半群,它的元素都是有界线性算子。它们作用于空间XX中元素时,得到:
x(t)=T(t)x(0)x(t)=T(t)x(0)(8)

无穷小母元

  若有算子AA,它的定义域为空间XX的子集,即D(A)XD(A)X,并且满足:

A=limt0+1t(T(t)I)A=limt0+1t(T(t)I)(9)

  则称AAC0C0半群的无穷小母元(infinitesimaler Generator)。若将AA作用于空间XX中元素x(t)x(t)

Ax(t)=limϵ0+1ϵ(T(ϵ)T(0))x(t)=limϵ0+1ϵ(x(t+ϵ)x(t))=˙x(t)Ax(t)=limϵ0+1ϵ(T(ϵ)T(0))x(t)=limϵ0+1ϵ(x(t+ϵ)x(t))=˙x(t)

  我们得到:

˙x(t)=Ax(t)˙x(t)=Ax(t)(10)

  C0C0半群的无穷小母元可以作为分布参数系统状态方程的系统算子,而无穷小母元和C0C0半群又是一一对应的(这里不考虑定义域问题)。因此若式(1)中系统算子AA对应的C0C0半群存在,就可以将x(t)x(t)表示为式(8)的形式,那么该系统初值问题就是适定性问题。

适定性问题判定

  若要判定式(1)的系统初值问题为适定性问题,只需要证明系统算子AA对应的C0C0半群存在就行了。通常我们有三种方法:Riesz-Spektral系统判别、Hille-Yoshida定理和Lumer-Phillips定理。

Riesz-Spektral系统判别

  若系统为Riesz-Spektral系统,并且系统算子满足supi1Reλi<supi1Reλi<,则根据第三章节,系统算子所对应的C0C0半群为:

T(t)=i=1eλitϕi  ,ψiT(t)=i=1eλitϕi  ,ψi

  因此系统算子AA存在对应的C0C0半群。

Hille-Yoshida定理

  若AA是定义在空间XX上的闭线性算子,并且满足:
  1. D(A)D(A)XX上稠密
  2. 对所有实λ>ωλ>ωλρ(A)λρ(A),下式对所有正整数nn均成立:

||(λIA)n||M(λω)n, M>0||(λIA)n||M(λω)n, M>0(11)

  则AA存在对应的C0C0半群T(t)T(t),且满足||T(t)||Meωt, t0||T(t)||Meωt, t0。在这里式(9)左侧部分可以看作C0C0半群的泰勒展开,右侧部分看作指数函数的泰勒展开。若C0C0半群的泰勒展开每一项都小于等于指数函数,则合起来之后就得到了||T(t)||Meωt||T(t)||Meωt

Lumer-Phillips定理

  若AA是定义在空间XX上的闭线性算子,并且满足:
  1. D(A)D(A)XX上稠密
  2. AA是消散的(disspativ)
  3. λIAλIA映射为XX,其中λλ为任意正数
  则AA存在对应的C0C0半群T(t)T(t),且满足||T(t)||1, t0||T(t)||1, t0。这样的C0C0半群也叫收缩半群(Kontraktionshalbgruppe)

  在这里我们不去证明它们。我们只需要使用它们来证明系统算子AA对应的C0C0半群存在,就可以判定系统初值问题为适定性问题,它的解存在且唯一,并且连续地取决于初始条件。

二阶系统适定性条件

二阶系统

  二阶系统相对比较复杂,这里我们以弹性梁(Elastischer Balken)系统为例:
弹性梁系统弹性梁系统
  一般来说,弹性梁系统可以表示为如下形式:

¨w(t)+D˙w(t)+Sw(t)=Gu(t), t>0y(t)=H0w(t)+H1˙w(t), t0¨w(t)+D˙w(t)+Sw(t)=Gu(t), t>0y(t)=H0w(t)+H1˙w(t), t0(12)(13)

  其中:
   状态变量w(t)={w(z,t), zΩ}w(t)={w(z,t), zΩ},表示zz点处梁的形变量;
   算子Sh=d4zh:D(S)HHSh=d4zh:D(S)HH
   阻尼算子D:D(D)HHD:D(D)HH,通常D=0D=0S12S12
   输入算子G:CpH
   输出算子H0:HCmH1:HCm

  我们定义状态变量:

x1(t)={w(z,t), zΩ}x2(t)={tw(z,t), zΩ}

  设系统算子A

A=[0ISD], D(A)={[h1h2][D(S12)D(S12)]|S(h1+S1Dh2)H}

  输入算子B和输出算子C

B=[0G], C=[H0H1]

  我们就得到了式(1)(2)形式的状态参数方程。现在我们还需要定义状态变量的内积,使得状态空间是个Hilbert空间(有内积的完备空间)。若选择标准内积:

[x1x2][y1y2]=x1,y1H+x2,y2H,x1,y1H, x2,y2H

  则状态变量x(t)的范数平方为:

||x(t)||2=x1(t),x1(t)H+x2(t),x2(t)H=10(w(z,t))2dz+10(tw(z,t))2dz

  而根据物理公式,我们可以将弹性梁的动能及势能用w(z,t)表示出来:

Ekin(t)=1210(tw(z,t))2dzEpot(t)=1210(2zw(z,t))2dz

  比较式(15)~(17),我们发现梁的总能量无法用状态变量的范数平方||x(t)||2来表示。因此我们重新定义内积:

[x1x2][y1y2]=S12x1,S12y1H+x2,y2H,x1,y1D(S12), x2,y2H

  则状态变量x(t)的范数平方为:

||x(t)||2=S12x1(t),S12x1(t)H+x2(t),x2(t)H=10(2zw(z,t))2dz+10(tw(z,t))2dz=2Epot(t)+2Ekin(t)

  式(19)可知,梁的总能量能使用式(18)内积得到的范数平方能表示,因此式(18)又被称为能量内积(Energie-Skalarprodukt)。为了判定系统算子A对应的C0半群存在,我们使用Lumer-Phillips定理。由于系统算子A是二阶的,难以直接操作,因此下面分别从条件二与条件三入手进行推导(条件一是普遍满足的)。

条件二:A的消散性

  消散性是指系统能量只会降低不会升高。式(19)中范数平方可以表示弹性梁系统的总能量,因此设能量函数V(x)为:

V(x)=||x(t)||2

  将能量函数对t求导,得到:

˙V(x)=˙x,x+x,˙x=˙x,x+¯˙x,x=2Re˙x,x=2ReAx,x

  由于系统要求是消散的,因此能量函数的导数要小于等于0,我们得到:

˙V(x)=2ReAx,x0

  此时系统Lyapunov稳定:

˙V(x)=dt||x(t)||2=2||x(t)||dt||x(t)||0dt||x(t)||0||x(t)||||x(0)||

  得到系统的解是收缩的(kontraktiv),因此Lumer-Phillips定理最终得到的C0半群也叫收缩半群。综上系统算子A消散的条件为:
   S12存在且唯一
   ReAx,x0

  对于第一个条件,我们可以用如下定理得到:

SS=S12S12

  其中S12为根算子(Wurzeloperator),它存在唯一,并且也是正算子。其中正算子定义为:若S为自伴随算子,且满足:

Sh,hH>0

  则称S为正算子。因此第一个条件可以转化为证明S为正算子。
  对于第二个条件,我们将A的定义带入得到:

ReAh,h=Re[0ISD][h1h2],[h1h2]=ReS12h2,S12h1H+ReSh1Dh2,h2H=ReS12h2,S12h1HReSh1,h2HReDh2,h2H=ReS12h2,S12h1HReS12h1,S12h2HReDh2,h2H=ReDh2,h2H0

  其中用到了S的正算子性质:

ReSh1,h2H=ReS12S12h1,h2H=ReS12h1,S12h2H

  以及内积的性质:

ReS12h1,S12h2H=Re¯S12h2,S12h1H=ReS12h2,S12h1H

  第二个条件最后转化为了:

ReDh2,h2H0

  因此A的消散性最终得到了以下两个条件:
   S为正算子
   ReDh2,h2H0

条件三:λIAX

  若系统算子A存在逆算子A1,则条件“λIAX”等价于“A1为有界线性算子”。若不存在逆算子,则未解。因此我们可以将条件三转化A1存在且为有界线性算子,带入A定义来求解A1

Ax=y[0ISD][x1x2]=[y1y2]

  将矩阵展开得到:

{x2=y1Sx1Dx2=y2{x2=y1Sx1=Dx2+y2=Dy1+y2{x2=y1x1=S1Dy1S1y2

  化为矩阵形式得到:

[S1DS1I0][y1y2]=[x1x2]A1y=x

  则可以得到系统算子A的逆算子A1表示为:

A1=[S1DS1I0]

  根据式(24),A1存在要求S1存在;A1为有界线性算子则要求S1DS1均为有界线性算子。因此条件λIAX最终也转化为了两个条件:
   S1存在且为有界线性算子
   S1D为有界线性算子

总结

  通过上面的推导,我们将Lumer-Phillips定理转化为了以下四个条件:
   S为正算子
   ReDh2,h2H0
   S1存在且为有界线性算子
   S1D为有界线性算子

  在这里我们引入正定算子的概念:若算子S为自伴随算子,且满足:

Sh,hHϵ||h||2H, ϵ>0, hD(S)

  则称S为正定算子。
  若S为正定算子,根据定义,显然S是正算子;同时可以证明S1为有界线性算子,其过程如下:

h=S1hSS1h,S1hHϵ||S1h||2H||S1h||2H1ϵSS1h,S1hH1ϵ(h,hS1h,S1h)12=1ϵ||h||||S1h||||S1h||H1ϵ||h||S1

  上述证明过程中用到了柯西-施瓦茨不等式(Cauchy-Schwarz inequality):

|x,y|2x,xy,y

  因此可以将条件“S为正算子”与“S1存在且为有界线性算子”合并为一个条件“S为正定算子”。最终我们需要证明的条件为:
  1. S为正定算子
  2. ReDh2,h2H0
  3. S1D为有界线性算子

  在实际计算中,我们可以先通过定义得到条件1,并判断条件2。若都成立,则可以说明A是消散的。再根据式(22)的推导过程得到A1,并判断条件3。若成立,则可以说明A1存在且为有界线性算子,并且λIAX成立。最后综合上述结论,根据Lumer-Phillips定理判断系统的适定性。由于D通常为0S12,因此条件2、3通常满足,因此实际需要判断的也就是条件1:S为正定算子。

小结

  1. C0半群与无穷小母元一一对应,因此可以通过系统算子对应的C0半群是否存在来判断系统初值问题是否为适定性问题。
  2. 判断C0半群存在通常有三种方法:Riesz-Spektral系统判别、Hille-Yoshida定理和Lumer-Phillips定理。
  3. 二阶分布参数系统适定性问题举例。
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