分布参数系统控制（四）：解的存在唯一性

  在求解微分方程的初值问题时，我们通常要考虑解的存在唯一性，以及解受初始条件的影响。一般来说，我们希望问题的解存在且唯一，并且连续地取决于初始条件（通常无法准确得知状态变量初始值，导致实际应用中会产生一定的偏差。因此我们希望当初始值$x(0)$微小变化时，$x(t)$的变化足够小）。我们称这样的问题为适定性问题（wohlgestelltes Problem）。
  本文的目标就是得到某些条件，并用它们来判断分布参数模型的初值问题是否为适定性问题。系统状态方程如下：

$$\begin{eqnarray} \dot{x}(t)&=&\mathcal{A}x(t)+\mathcal{B}u(t),\ &t>0,\ x(0)=x_0\in X\tag{1}\\ y(t)&=&\mathcal{C}x(t),\ &t\geq0\tag{2} \end{eqnarray}$$

  由于其中数学证明较为困难，因此这里只给出一些结论以及方法。

$C_0$半群

引入

  在第三章节式(13)中我们得到了分布参数系统状态变量$x(z,t)$的通解为：

$$x(z,t)=\sum_{i=1}^{\infty}e^{\lambda_it}\phi_i(z)x_i^\ast (0)+\sum_{i=1}^{\infty}\int_0^te^{\lambda_i(t-\tau)}\phi_i(z){b_i^\ast }^Tu(\tau){\rm d}\tau\tag{3}$$

  而集总参数系统中状态变量的通解为：

$$x(t)=e^{At}x(0)+\int_0^te^{A(t-\tau)}{\rm b}u(\tau){\rm d}\tau\tag{4}$$

  比较式(3)与式(4)发现它们能表达为统一形式：

$$x(t)={\cal T}(t)x(0)+\int_0^t{\cal T}(t-\tau){\cal B}u(\tau){\rm d}\tau\tag{5}$$

  式(3)中：

$${\cal T}(t)=\sum_{i=1}^{\infty}e^{\lambda_it}\phi_i\langle\ \cdot\ ,\psi_i\rangle\tag{6}$$

  式(4)中：

$${\cal T}(t)=e^{At}\tag{7}$$

  式(6)式(7)有着共同的特性，它们都是$C_0$半群。

定义

  $C_0$半群是指数函数$e^{At}$的推广。其定义如下：设$X$为Banach空间（有范数的完备空间），$\{ {\cal T}(t),t\geq 0\}$是$X$上的$C_0$半群，当且仅当它满足：
  1. ${\cal T}(0)=I$（$I$是$X$上的单位元）
  2. ${\cal T}(t+\tau)={\cal T}(t)\cdot{\cal T}(\tau),\ t\geq 0,\ \tau\geq 0$
  3. $\lim_{t\to 0^+}||{\cal T}(t)x_0-x_0||=0,\ \forall x_0\in X$

  其中条件一、二分别表示$C_0$半群存在幺元（单位元）和结合律，只有群的一半性质，因此是一个半群（群性质为：封闭性，结合律，幺元和逆元）；条件三表示算子是强连续的。因此$C_0$半群也称为强连续算子半群，它的元素都是有界线性算子。它们作用于空间$X$中元素时，得到：
$x(t)={\cal T}(t)x(0)\tag{8}$

无穷小母元

  若有算子$\cal A$，它的定义域为空间$X$的子集，即$D({\cal A})\subset X$，并且满足：

$${\cal A}=\lim_{t\to 0^+}{1 \over t}({\cal T}(t)-I)\tag{9}$$

  则称$\cal A$为$C_0$半群的无穷小母元（infinitesimaler Generator）。若将$\cal A$作用于空间$X$中元素$x(t)$：

$$\begin{split} {\cal A}x(t)&=\lim_{\epsilon\to 0^+}{1\over \epsilon}({\cal T}(\epsilon)-{\cal T}(0))x(t)\\ &=\lim_{\epsilon\to 0^+}{1\over \epsilon}(x(t+\epsilon)-x(t))\\ &=\dot{x}(t) \end{split}$$

  我们得到：

$$\dot{x}(t)={\cal A}x(t)\tag{10}$$

  $C_0$半群的无穷小母元可以作为分布参数系统状态方程的系统算子，而无穷小母元和$C_0$半群又是一一对应的（这里不考虑定义域问题）。因此若式(1)中系统算子$\cal A$对应的$C_0$半群存在，就可以将$x(t)$表示为式(8)的形式，那么该系统初值问题就是适定性问题。

适定性问题判定

  若要判定式(1)的系统初值问题为适定性问题，只需要证明系统算子$\cal A$对应的$C_0$半群存在就行了。通常我们有三种方法：Riesz-Spektral系统判别、Hille-Yoshida定理和Lumer-Phillips定理。

Riesz-Spektral系统判别

  若系统为Riesz-Spektral系统，并且系统算子满足$\sup_{i\geq 1}{\rm Re}\lambda_i<\infty$，则根据第三章节,系统算子所对应的$C_0$半群为：

$${\cal T}(t)=\sum_{i=1}^{\infty}e^{\lambda_it}\phi_i\langle\ \cdot\ ,\psi_i\rangle$$

  因此系统算子$\cal A$存在对应的$C_0$半群。

Hille-Yoshida定理

  若$\cal A$是定义在空间$X$上的闭线性算子，并且满足：
  1. $D({\cal A})$在$X$上稠密
  2. 对所有实$\lambda>\omega$且$\lambda\in\rho({\cal A})$，下式对所有正整数$n$均成立：

$$||(\lambda I-{\cal A})^{-n}||\leq{M \over (\lambda-\omega)^n},\ M>0\tag{11}$$

  则$\cal A$存在对应的$C_0$半群${\cal T(t)}$，且满足$||{\cal T}(t)||\leq Me^{\omega t},\ t\geq 0$。在这里式(9)左侧部分可以看作$C_0$半群的泰勒展开，右侧部分看作指数函数的泰勒展开。若$C_0$半群的泰勒展开每一项都小于等于指数函数，则合起来之后就得到了$||{\cal T}(t)||\leq Me^{\omega t}$。

Lumer-Phillips定理

  若$\cal A$是定义在空间$X$上的闭线性算子，并且满足：
  1. $D({\cal A})$在$X$上稠密
  2. ${\cal A}$是消散的（disspativ）
  3. $\lambda I-{\cal A}$映射为$X$，其中$\lambda$为任意正数
  则$\cal A$存在对应的$C_0$半群${\cal T}(t)$，且满足$||{\cal T}(t)||\leq 1,\ t\geq 0$。这样的$C_0$半群也叫收缩半群（Kontraktionshalbgruppe）

  在这里我们不去证明它们。我们只需要使用它们来证明系统算子$\cal A$对应的$C_0$半群存在，就可以判定系统初值问题为适定性问题，它的解存在且唯一，并且连续地取决于初始条件。

二阶系统适定性条件

二阶系统

  二阶系统相对比较复杂，这里我们以弹性梁（Elastischer Balken）系统为例：
弹性梁系统
  一般来说，弹性梁系统可以表示为如下形式：

$$\begin{eqnarray} \ddot{w}(t)+{\cal D}\dot{w}(t)+{\cal S}w(t)&=&{\cal G}u(t),\ &t>0&\tag{12}\\ y(t)&=&{\cal H}_0w(t)+{\cal H}_1\dot{w}(t),\ &t\geq 0\tag{13}& \end{eqnarray}$$

  其中：
  $\circ$ 状态变量$w(t)=\{w(z,t),\ z\in\Omega\}$，表示$z$点处梁的形变量；
  $\circ$ 算子${\cal S}h={\rm d}_z^4h:D({\cal S})\subset H\to H$；
  $\circ$ 阻尼算子${\cal D}:D({\cal D})\subset H\to H$，通常${\cal D}=0$或${\cal S}^{1\over 2}$；
  $\circ$ 输入算子${\cal G}:\Bbb{C}^p\to H$；
  $\circ$ 输出算子${\cal H}_0:H\to \Bbb{C}^m$与${\cal H}_1:H\to \Bbb{C}^m$。

  我们定义状态变量：

$$\begin{split} x_1(t)&=\{w(z,t),\ z\in\Omega\}\\ x_2(t)&=\{\partial_tw(z,t),\ z\in\Omega\} \end{split}$$

  设系统算子$\cal A$：

$${\cal A}=\begin{bmatrix}0 & I\\ -{\cal S} & -{\cal D}\end{bmatrix},\ D({\cal A})=\left\{\begin{bmatrix}h_1\\h_2\end{bmatrix}\in\begin{bmatrix}D({\cal S}^{ {1\over 2} })\\D({\cal S}^{ {1\over 2} })\end{bmatrix}|{\cal S}(h_1+{\cal S}^{-1}{\cal D}h_2)\in H\right\}$$

  输入算子$\cal B$和输出算子$\cal C$：

$${\cal B}=\begin{bmatrix}0\\{\cal G}\end{bmatrix},\ {\cal C}=\begin{bmatrix}{\cal H}_0 & {\cal H}_1\end{bmatrix}$$

  我们就得到了式(1)(2)形式的状态参数方程。现在我们还需要定义状态变量的内积，使得状态空间是个Hilbert空间（有内积的完备空间）。若选择标准内积：

$$\begin{split} \left\langle\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}\right\rangle=&\langle x_1,y_1\rangle_H+\langle x_2,y_2\rangle_H,\\ &x_1,y_1\in H,\ x_2,y_2\in H \end{split}\tag{14}$$

  则状态变量$x(t)$的范数平方为：

$$\begin{split} ||x(t)||^2&=\langle x_1(t),x_1(t)\rangle_H+\langle x_2(t),x_2(t)\rangle_H\\ &=\int_0^1(w(z,t))^2{\rm d}z+\int_0^1(\partial_tw(z,t))^2{\rm d}z \end{split}\tag{15}$$

  而根据物理公式，我们可以将弹性梁的动能及势能用$w(z,t)$表示出来：

$$\begin{eqnarray} E_{kin}(t)&=&{1\over 2}\int_0^1(\partial_tw(z,t))^2{\rm d}z\tag{16}\\ E_{pot}(t)&=&{1\over 2}\int_0^1(\partial_z^2w(z,t))^2{\rm d}z\tag{17} \end{eqnarray}$$

  比较式(15)~(17)，我们发现梁的总能量无法用状态变量的范数平方$||x(t)||^2$来表示。因此我们重新定义内积：

$$\begin{split} \left\langle\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}\right\rangle=&\langle {\cal S}^{1 \over 2}x_1, {\cal S}^{1 \over 2}y_1\rangle_H+\langle x_2,y_2\rangle_H,\\ &x_1,y_1\in D({\cal S}^{1 \over 2}),\ x_2,y_2\in H \end{split}\tag{18}$$

  则状态变量$x(t)$的范数平方为：

$$\begin{split} ||x(t)||^2&=\langle{\cal S}^{1\over 2}x_1(t),{\cal S}^{1\over 2}x_1(t)\rangle_H+\langle x_2(t),x_2(t)\rangle_H\\ &=\int_0^1(\partial_z^2w(z,t))^2{\rm d}z+\int_0^1(\partial_tw(z,t))^2{\rm d}z\\ &=2E_{pot}(t)+2E_{kin}(t) \end{split}\tag{19}$$

  式(19)可知，梁的总能量能使用式(18)内积得到的范数平方能表示，因此式(18)又被称为能量内积（Energie-Skalarprodukt）。为了判定系统算子$\cal A$对应的$C_0$半群存在，我们使用Lumer-Phillips定理。由于系统算子$\cal A$是二阶的，难以直接操作，因此下面分别从条件二与条件三入手进行推导（条件一是普遍满足的）。

条件二：$\cal A$的消散性

  消散性是指系统能量只会降低不会升高。式(19)中范数平方可以表示弹性梁系统的总能量，因此设能量函数$V(x)$为：

$$V(x)=||x(t)||^2\tag{20}$$

  将能量函数对$t$求导，得到：

$$\begin{split} \dot{V}(x)&=\langle\dot{x},x\rangle+\langle x,\dot{x}\rangle\\ &=\langle\dot{x},x\rangle+\overline{\langle\dot{x},x\rangle}\\ &=2{\rm Re}\langle\dot{x},x\rangle\\ &=2{\rm Re}\langle{\cal A}x,x\rangle \end{split}\tag{21}$$

  由于系统要求是消散的，因此能量函数的导数要小于等于$0$，我们得到：

$$\dot{V}(x)=2{\rm Re}\langle{\cal A}x,x\rangle\leq 0\tag{22}$$

  此时系统Lyapunov稳定：

$$\begin{split} \dot{V}(x)&={\rm d}_t||x(t)||^2=2||x(t)||{\rm d}_t||x(t)||\leq 0\\ &\Rightarrow {\rm d}_t||x(t)||\leq 0\\ &\Rightarrow ||x(t)||\leq ||x(0)|| \end{split}$$

  得到系统的解是收缩的（kontraktiv），因此Lumer-Phillips定理最终得到的$C_0$半群也叫收缩半群。综上系统算子$\cal A$消散的条件为：
  $\circ$ ${\cal S}^{1\over 2}$存在且唯一
  $\circ$ ${\rm Re}\langle{\cal A}x,x\rangle\leq 0$

  对于第一个条件，我们可以用如下定理得到：

$$\cal S为正算子\Leftrightarrow{\cal S}={\cal S}^{1\over 2}\cdot{\cal S}^{1\over 2}$$

  其中${\cal S}^{1\over 2}$为根算子（Wurzeloperator），它存在唯一，并且也是正算子。其中正算子定义为：若$\cal S$为自伴随算子，且满足：

$$\langle{\cal S}h,h\rangle_H>0$$

  则称$\cal S$为正算子。因此第一个条件可以转化为证明$\cal S$为正算子。
  对于第二个条件，我们将$\cal A$的定义带入得到：

$$\begin{split} {\rm Re}\langle{\cal A}h,h\rangle&={\rm Re}\left\langle\begin{bmatrix}0 & I \\ -{\cal S} & -{\cal D}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}h_1\\h_2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}h_1\\h_2\end{bmatrix}\right\rangle\\ &={\rm Re}\langle{\cal S}^{1\over 2}h_2,{\cal S}^{1\over 2}h_1\rangle_H+{\rm Re}\langle -{\cal S}h_1-{\cal D}h_2,h_2\rangle_H\\ &={\rm Re}\langle{\cal S}^{1\over 2}h_2,{\cal S}^{1\over 2}h_1\rangle_H-{\rm Re}\langle {\cal S}h_1,h_2\rangle_H-{\rm Re}\langle {\cal D}h_2,h_2\rangle_H\\ &={\rm Re}\langle{\cal S}^{1\over 2}h_2,{\cal S}^{1\over 2}h_1\rangle_H-{\rm Re}\langle{\cal S}^{1\over 2}h_1,{\cal S}^{1\over 2}h_2\rangle_H-{\rm Re}\langle {\cal D}h_2,h_2\rangle_H\\ &=-{\rm Re}\langle {\cal D}h_2,h_2\rangle_H\leq 0 \end{split}$$

  其中用到了$\cal S$的正算子性质：

$$\begin{split} {\rm Re}\langle {\cal S}h_1,h_2\rangle_H&={\rm Re}\langle{\cal S}^{1\over 2}{\cal S}^{1\over 2}h_1,h_2\rangle_H\\ &={\rm Re}\langle{\cal S}^{1\over 2}h_1,{\cal S}^{1\over 2}h_2\rangle_H \end{split}$$

  以及内积的性质：

$$\begin{split} {\rm Re}\langle{\cal S}^{1\over 2}h_1,{\cal S}^{1\over 2}h_2\rangle_H&={\rm Re}\overline{\langle{\cal S}^{1\over 2}h_2,{\cal S}^{1\over 2}h_1\rangle}_H\\ &={\rm Re}\langle{\cal S}^{1\over 2}h_2,{\cal S}^{1\over 2}h_1\rangle_H \end{split}$$

  第二个条件最后转化为了：

$${\rm Re}\langle {\cal D}h_2,h_2\rangle_H\geq 0\tag{23}$$

  因此$\cal A$的消散性最终得到了以下两个条件：
  $\circ$ $\cal S$为正算子
  $\circ$ ${\rm Re}\langle {\cal D}h_2,h_2\rangle_H\geq 0$

条件三：$\lambda I-{\cal A}\to X$

  若系统算子$\cal A$存在逆算子${\cal A}^{-1}$，则条件“$\lambda I-{\cal A}\to X$”等价于“${\cal A}^{-1}$为有界线性算子”。若不存在逆算子，则未解。因此我们可以将条件三转化${\cal A}^{-1}$存在且为有界线性算子，带入$\cal A$定义来求解${\cal A}^{-1}$：

$$\begin{split} {\cal A}x=y&\Rightarrow\begin{bmatrix}0 & I \\ -{\cal S} & -{\cal D}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix} \end{split}$$

  将矩阵展开得到：

$$\begin{split} &\begin{cases} x_2=y_1\\ -{\cal S}x_1-{\cal D}x_2=y_2 \end{cases}\\ \Rightarrow &\begin{cases} x_2=y_1\\ -{\cal S}x_1={\cal D}x_2+y_2={\cal D}y_1+y_2 \end{cases}\\ \Rightarrow &\begin{cases} x_2=y_1\\ x_1=-{\cal S}^{-1}{\cal D}y_1-{\cal S}^{-1}y_2 \end{cases} \end{split}$$

  化为矩阵形式得到：

$$\begin{bmatrix}-{\cal S}^{-1}{\cal D} & -{\cal S}^{-1} \\ I & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\Rightarrow{\cal A}^{-1}y=x$$

  则可以得到系统算子$\cal A$的逆算子${\cal A}^{-1}$表示为：

$${\cal A}^{-1}=\begin{bmatrix}-{\cal S}^{-1}{\cal D} & -{\cal S}^{-1} \\ I & 0\end{bmatrix}\tag{24}$$

  根据式(24)，${\cal A}^{-1}$存在要求${\cal S}^{-1}$存在；${\cal A}^{-1}$为有界线性算子则要求${\cal S}^{-1}{\cal D}$与${\cal S}^{-1}$均为有界线性算子。因此条件$\lambda I-{\cal A}\to X$最终也转化为了两个条件：
  $\circ$ ${\cal S}^{-1}$存在且为有界线性算子
  $\circ$ ${\cal S}^{-1}{\cal D}$为有界线性算子

总结

  通过上面的推导，我们将Lumer-Phillips定理转化为了以下四个条件：
  $\circ$ $\cal S$为正算子
  $\circ$ ${\rm Re}\langle {\cal D}h_2,h_2\rangle_H\geq 0$
  $\circ$ ${\cal S}^{-1}$存在且为有界线性算子
  $\circ$ ${\cal S}^{-1}{\cal D}$为有界线性算子

  在这里我们引入正定算子的概念：若算子$\cal S$为自伴随算子，且满足：

$$\langle{\cal S}h,h\rangle_H\geq \epsilon||h||^2_H,\ \epsilon>0,\ \forall h\in D({\cal S})\tag{25}$$

  则称$\cal S$为正定算子。
  若$\cal S$为正定算子，根据定义，显然$\cal S$是正算子；同时可以证明$\cal S^{-1}$为有界线性算子，其过程如下：

$$\begin{split} &取h={\cal S}^{-1}h\\ \Rightarrow &\langle{\cal S}{\cal S}^{-1}h,{\cal S}^{-1}h\rangle_H\geq\epsilon||{\cal S}^{-1}h||^2_H\\ \Rightarrow &||{\cal S}^{-1}h||^2_H\leq{1\over\epsilon}\langle{\cal S}{\cal S}^{-1}h,{\cal S}^{-1}h\rangle_H\leq{1\over\epsilon}\left(\langle h,h\rangle\langle{\cal S}^{-1}h,{\cal S}^{-1}h\rangle\right)^{1\over 2}={1\over\epsilon}||h||\cdot||{\cal S}^{-1}h||\\ \Rightarrow &||{\cal S}^{-1}h||_ H\leq{1\over\epsilon}||h||\\ \Rightarrow &{\cal S}^{-1}有界 \end{split}$$

  上述证明过程中用到了柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz inequality）：

$$|\langle x,y\rangle|^2\leq \langle x,x\rangle\cdot\langle y,y\rangle$$

  因此可以将条件“$\cal S$为正算子”与“${\cal S}^{-1}$存在且为有界线性算子”合并为一个条件“$\cal S$为正定算子”。最终我们需要证明的条件为：
  1. $\cal S$为正定算子
  2. ${\rm Re}\langle {\cal D}h_2,h_2\rangle_H\geq 0$
  3. ${\cal S}^{-1}{\cal D}$为有界线性算子

  在实际计算中，我们可以先通过定义得到条件1，并判断条件2。若都成立，则可以说明$\cal A$是消散的。再根据式(22)的推导过程得到$\cal A^{-1}$，并判断条件3。若成立，则可以说明${\cal A}^{-1}$存在且为有界线性算子，并且$\lambda I-{\cal A}\to X$成立。最后综合上述结论，根据Lumer-Phillips定理判断系统的适定性。由于${\cal D}$通常为$0$或${\cal S}^{1\over 2}$，因此条件2、3通常满足，因此实际需要判断的也就是条件1：$\cal S$为正定算子。

小结

1. $C_0$半群与无穷小母元一一对应，因此可以通过系统算子对应的$C_0$半群是否存在来判断系统初值问题是否为适定性问题。
2. 判断$C_0$半群存在通常有三种方法：Riesz-Spektral系统判别、Hille-Yoshida定理和Lumer-Phillips定理。
3. 二阶分布参数系统适定性问题举例。