在求解微分方程的初值问题时,我们通常要考虑解的存在唯一性,以及解受初始条件的影响。一般来说,我们希望问题的解存在且唯一,并且连续地取决于初始条件(通常无法准确得知状态变量初始值,导致实际应用中会产生一定的偏差。因此我们希望当初始值x(0)x(0)微小变化时,x(t)x(t)的变化足够小)。我们称这样的问题为适定性问题(wohlgestelltes Problem)。
本文的目标就是得到某些条件,并用它们来判断分布参数模型的初值问题是否为适定性问题。系统状态方程如下:
由于其中数学证明较为困难,因此这里只给出一些结论以及方法。
C0C0半群
引入
在第三章节式(13)中我们得到了分布参数系统状态变量x(z,t)x(z,t)的通解为:
x(z,t)=∞∑i=1eλitϕi(z)x∗i(0)+∞∑i=1∫t0eλi(t−τ)ϕi(z)b∗iTu(τ)dτx(z,t)=∞∑i=1eλitϕi(z)x∗i(0)+∞∑i=1∫t0eλi(t−τ)ϕi(z)b∗iTu(τ)dτ(3)而集总参数系统中状态变量的通解为:
x(t)=eAtx(0)+∫t0eA(t−τ)bu(τ)dτx(t)=eAtx(0)+∫t0eA(t−τ)bu(τ)dτ(4)比较式(3)与式(4)发现它们能表达为统一形式:
x(t)=T(t)x(0)+∫t0T(t−τ)Bu(τ)dτx(t)=T(t)x(0)+∫t0T(t−τ)Bu(τ)dτ(5)式(3)中:
T(t)=∞∑i=1eλitϕi⟨ ⋅ ,ψi⟩T(t)=∞∑i=1eλitϕi⟨ ⋅ ,ψi⟩(6)式(4)中:
T(t)=eAtT(t)=eAt(7)式(6)式(7)有着共同的特性,它们都是C0C0半群。
定义
C0C0半群是指数函数eAteAt的推广。其定义如下:设XX为Banach空间(有范数的完备空间),{T(t),t≥0}{T(t),t≥0}是XX上的C0C0半群,当且仅当它满足:
1. T(0)=IT(0)=I(II是XX上的单位元)
2. T(t+τ)=T(t)⋅T(τ), t≥0, τ≥0T(t+τ)=T(t)⋅T(τ), t≥0, τ≥0
3. limt→0+||T(t)x0−x0||=0, ∀x0∈Xlimt→0+||T(t)x0−x0||=0, ∀x0∈X
其中条件一、二分别表示C0C0半群存在幺元(单位元)和结合律,只有群的一半性质,因此是一个半群(群性质为:封闭性,结合律,幺元和逆元);条件三表示算子是强连续的。因此C0C0半群也称为强连续算子半群,它的元素都是有界线性算子。它们作用于空间XX中元素时,得到:
x(t)=T(t)x(0)x(t)=T(t)x(0)(8)
无穷小母元
若有算子AA,它的定义域为空间XX的子集,即D(A)⊂XD(A)⊂X,并且满足:
A=limt→0+1t(T(t)−I)A=limt→0+1t(T(t)−I)(9)则称AA为C0C0半群的无穷小母元(infinitesimaler Generator)。若将AA作用于空间XX中元素x(t)x(t):
Ax(t)=limϵ→0+1ϵ(T(ϵ)−T(0))x(t)=limϵ→0+1ϵ(x(t+ϵ)−x(t))=˙x(t)Ax(t)=limϵ→0+1ϵ(T(ϵ)−T(0))x(t)=limϵ→0+1ϵ(x(t+ϵ)−x(t))=˙x(t)我们得到:
˙x(t)=Ax(t)˙x(t)=Ax(t)(10)C0C0半群的无穷小母元可以作为分布参数系统状态方程的系统算子,而无穷小母元和C0C0半群又是一一对应的(这里不考虑定义域问题)。因此若式(1)中系统算子AA对应的C0C0半群存在,就可以将x(t)x(t)表示为式(8)的形式,那么该系统初值问题就是适定性问题。
适定性问题判定
若要判定式(1)的系统初值问题为适定性问题,只需要证明系统算子AA对应的C0C0半群存在就行了。通常我们有三种方法:Riesz-Spektral系统判别、Hille-Yoshida定理和Lumer-Phillips定理。
Riesz-Spektral系统判别
若系统为Riesz-Spektral系统,并且系统算子满足supi≥1Reλi<∞supi≥1Reλi<∞,则根据第三章节,系统算子所对应的C0C0半群为:
T(t)=∞∑i=1eλitϕi⟨ ⋅ ,ψi⟩T(t)=∞∑i=1eλitϕi⟨ ⋅ ,ψi⟩因此系统算子AA存在对应的C0C0半群。
Hille-Yoshida定理
若AA是定义在空间XX上的闭线性算子,并且满足:
1. D(A)D(A)在XX上稠密
2. 对所有实λ>ωλ>ω且λ∈ρ(A)λ∈ρ(A),下式对所有正整数nn均成立:
则AA存在对应的C0C0半群T(t)T(t),且满足||T(t)||≤Meωt, t≥0||T(t)||≤Meωt, t≥0。在这里式(9)左侧部分可以看作C0C0半群的泰勒展开,右侧部分看作指数函数的泰勒展开。若C0C0半群的泰勒展开每一项都小于等于指数函数,则合起来之后就得到了||T(t)||≤Meωt||T(t)||≤Meωt。
Lumer-Phillips定理
若AA是定义在空间XX上的闭线性算子,并且满足:
1. D(A)D(A)在XX上稠密
2. AA是消散的(disspativ)
3. λI−AλI−A映射为XX,其中λλ为任意正数
则AA存在对应的C0C0半群T(t)T(t),且满足||T(t)||≤1, t≥0||T(t)||≤1, t≥0。这样的C0C0半群也叫收缩半群(Kontraktionshalbgruppe)
在这里我们不去证明它们。我们只需要使用它们来证明系统算子AA对应的C0C0半群存在,就可以判定系统初值问题为适定性问题,它的解存在且唯一,并且连续地取决于初始条件。
二阶系统适定性条件
二阶系统
二阶系统相对比较复杂,这里我们以弹性梁(Elastischer Balken)系统为例:弹性梁系统
一般来说,弹性梁系统可以表示为如下形式:
其中:
∘∘ 状态变量w(t)={w(z,t), z∈Ω}w(t)={w(z,t), z∈Ω},表示zz点处梁的形变量;
∘∘ 算子Sh=d4zh:D(S)⊂H→HSh=d4zh:D(S)⊂H→H;
∘∘ 阻尼算子D:D(D)⊂H→HD:D(D)⊂H→H,通常D=0D=0或S12S12;
∘∘ 输入算子G:Cp→H;
∘ 输出算子H0:H→Cm与H1:H→Cm。
我们定义状态变量:
x1(t)={w(z,t), z∈Ω}x2(t)={∂tw(z,t), z∈Ω}设系统算子A:
A=[0I−S−D], D(A)={[h1h2]∈[D(S12)D(S12)]|S(h1+S−1Dh2)∈H}输入算子B和输出算子C:
B=[0G], C=[H0H1]我们就得到了式(1)(2)形式的状态参数方程。现在我们还需要定义状态变量的内积,使得状态空间是个Hilbert空间(有内积的完备空间)。若选择标准内积:
⟨[x1x2][y1y2]⟩=⟨x1,y1⟩H+⟨x2,y2⟩H,x1,y1∈H, x2,y2∈H则状态变量x(t)的范数平方为:
||x(t)||2=⟨x1(t),x1(t)⟩H+⟨x2(t),x2(t)⟩H=∫10(w(z,t))2dz+∫10(∂tw(z,t))2dz而根据物理公式,我们可以将弹性梁的动能及势能用w(z,t)表示出来:
Ekin(t)=12∫10(∂tw(z,t))2dzEpot(t)=12∫10(∂2zw(z,t))2dz比较式(15)~(17),我们发现梁的总能量无法用状态变量的范数平方||x(t)||2来表示。因此我们重新定义内积:
⟨[x1x2][y1y2]⟩=⟨S12x1,S12y1⟩H+⟨x2,y2⟩H,x1,y1∈D(S12), x2,y2∈H则状态变量x(t)的范数平方为:
||x(t)||2=⟨S12x1(t),S12x1(t)⟩H+⟨x2(t),x2(t)⟩H=∫10(∂2zw(z,t))2dz+∫10(∂tw(z,t))2dz=2Epot(t)+2Ekin(t)式(19)可知,梁的总能量能使用式(18)内积得到的范数平方能表示,因此式(18)又被称为能量内积(Energie-Skalarprodukt)。为了判定系统算子A对应的C0半群存在,我们使用Lumer-Phillips定理。由于系统算子A是二阶的,难以直接操作,因此下面分别从条件二与条件三入手进行推导(条件一是普遍满足的)。
条件二:A的消散性
消散性是指系统能量只会降低不会升高。式(19)中范数平方可以表示弹性梁系统的总能量,因此设能量函数V(x)为:
V(x)=||x(t)||2将能量函数对t求导,得到:
˙V(x)=⟨˙x,x⟩+⟨x,˙x⟩=⟨˙x,x⟩+¯⟨˙x,x⟩=2Re⟨˙x,x⟩=2Re⟨Ax,x⟩由于系统要求是消散的,因此能量函数的导数要小于等于0,我们得到:
˙V(x)=2Re⟨Ax,x⟩≤0此时系统Lyapunov稳定:
˙V(x)=dt||x(t)||2=2||x(t)||dt||x(t)||≤0⇒dt||x(t)||≤0⇒||x(t)||≤||x(0)|| 得到系统的解是收缩的(kontraktiv),因此Lumer-Phillips定理最终得到的C0半群也叫收缩半群。综上系统算子A消散的条件为:
∘ S12存在且唯一
∘ Re⟨Ax,x⟩≤0
对于第一个条件,我们可以用如下定理得到:
S为正算子⇔S=S12⋅S12其中S12为根算子(Wurzeloperator),它存在唯一,并且也是正算子。其中正算子定义为:若S为自伴随算子,且满足:
⟨Sh,h⟩H>0 则称S为正算子。因此第一个条件可以转化为证明S为正算子。
对于第二个条件,我们将A的定义带入得到:
其中用到了S的正算子性质:
Re⟨Sh1,h2⟩H=Re⟨S12S12h1,h2⟩H=Re⟨S12h1,S12h2⟩H以及内积的性质:
Re⟨S12h1,S12h2⟩H=Re¯⟨S12h2,S12h1⟩H=Re⟨S12h2,S12h1⟩H第二个条件最后转化为了:
Re⟨Dh2,h2⟩H≥0 因此A的消散性最终得到了以下两个条件:
∘ S为正算子
∘ Re⟨Dh2,h2⟩H≥0
条件三:λI−A→X
若系统算子A存在逆算子A−1,则条件“λI−A→X”等价于“A−1为有界线性算子”。若不存在逆算子,则未解。因此我们可以将条件三转化A−1存在且为有界线性算子,带入A定义来求解A−1:
Ax=y⇒[0I−S−D][x1x2]=[y1y2]将矩阵展开得到:
{x2=y1−Sx1−Dx2=y2⇒{x2=y1−Sx1=Dx2+y2=Dy1+y2⇒{x2=y1x1=−S−1Dy1−S−1y2化为矩阵形式得到:
[−S−1D−S−1I0][y1y2]=[x1x2]⇒A−1y=x则可以得到系统算子A的逆算子A−1表示为:
A−1=[−S−1D−S−1I0] 根据式(24),A−1存在要求S−1存在;A−1为有界线性算子则要求S−1D与S−1均为有界线性算子。因此条件λI−A→X最终也转化为了两个条件:
∘ S−1存在且为有界线性算子
∘ S−1D为有界线性算子
总结
通过上面的推导,我们将Lumer-Phillips定理转化为了以下四个条件:
∘ S为正算子
∘ Re⟨Dh2,h2⟩H≥0
∘ S−1存在且为有界线性算子
∘ S−1D为有界线性算子
在这里我们引入正定算子的概念:若算子S为自伴随算子,且满足:
⟨Sh,h⟩H≥ϵ||h||2H, ϵ>0, ∀h∈D(S) 则称S为正定算子。
若S为正定算子,根据定义,显然S是正算子;同时可以证明S−1为有界线性算子,其过程如下:
上述证明过程中用到了柯西-施瓦茨不等式(Cauchy-Schwarz inequality):
|⟨x,y⟩|2≤⟨x,x⟩⋅⟨y,y⟩ 因此可以将条件“S为正算子”与“S−1存在且为有界线性算子”合并为一个条件“S为正定算子”。最终我们需要证明的条件为:
1. S为正定算子
2. Re⟨Dh2,h2⟩H≥0
3. S−1D为有界线性算子
在实际计算中,我们可以先通过定义得到条件1,并判断条件2。若都成立,则可以说明A是消散的。再根据式(22)的推导过程得到A−1,并判断条件3。若成立,则可以说明A−1存在且为有界线性算子,并且λI−A→X成立。最后综合上述结论,根据Lumer-Phillips定理判断系统的适定性。由于D通常为0或S12,因此条件2、3通常满足,因此实际需要判断的也就是条件1:S为正定算子。
小结
- C0半群与无穷小母元一一对应,因此可以通过系统算子对应的C0半群是否存在来判断系统初值问题是否为适定性问题。
- 判断C0半群存在通常有三种方法:Riesz-Spektral系统判别、Hille-Yoshida定理和Lumer-Phillips定理。
- 二阶分布参数系统适定性问题举例。