分布参数系统控制（五）：模型近似

  分布参数系统是个无限维的系统，在第一章节所提到的early-lumping控制中，我们先将系统过程近似为集总参数系统，再使用现代控制方法对系统进行分析控制。本文将阐述模型近似的过程及相关注意事项。

模型近似

  分布参数系统状态方程如下：

$$\begin{eqnarray} \dot{x}(t)&=&\mathcal{A}x(t)+\mathcal{B}u(t),\ &t>0,\ x(0)=x_0\in X\tag{1}\\ y(t)&=&\mathcal{C}x(t),\ &t\geq0\tag{2} \end{eqnarray}$$

  在第三章节中我们把系统算子$\cal A$的特征元素$\{\phi_i,i\geq 1\}$作为整个状态空间的基，将系统分解后得到：

$$\sum_{i=1}^{\infty}\dot{x}_i^\ast (t)\phi_i=\sum_{i=1}^{\infty}x_i^\ast (t)\mathcal{A}\phi_i+\sum_{i=1}^{\infty}\phi_i{b_i^\ast }^Tu(t)\tag{3}$$

  其中每一个分量的方程为：

$$\dot{x}_i^\ast (t)=\lambda_ix_i^\ast (t)+{b_i^\ast }^Tu(t)\tag{4}$$

  此时状态量$x(t)$可以表示为：

$$x(t)=\sum_{i=1}^{\infty}\langle x(t),\psi_i\rangle\phi_i=\sum_{i=1}^{\infty}x_i^\ast (t)\phi_i\tag{5}$$

  它由无限个特征元素$\phi_i$排列组合而成，在这里我们只取前$n$个特征元素作为状态变量的近似，并将其余特征元素舍弃：

$$x(t)=\sum_{i=1}^nx_i^\ast (t)\phi_i\tag{6}$$

  根据式(4)，$x_i^\ast(t)$可由下列微分方程组得到：

$$\begin{cases} \dot{x}_1^\ast (t)=\lambda_1x_1^\ast (t)+{b_1^\ast }^Tu(t)\\ \dot{x}_2^\ast (t)=\lambda_2x_2^\ast (t)+{b_2^\ast }^Tu(t)\\ \quad\vdots\\ \dot{x}_n^\ast (t)=\lambda_nx_n^\ast (t)+{b_n^\ast }^Tu(t) \end{cases}$$

  在这里我们可以把$x_i^\ast(t)$看作状态分量，将方程组表示为向量形式得到：

$$\begin{bmatrix}\dot{x}_1^\ast\\\dot{x}_2^\ast\\\vdots\\\dot{x}_n^\ast\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_1& & & \\ &\lambda_2 & & \\& & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1^\ast \\ x_2^\ast \\ \vdots \\ x_n^\ast \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} {b_1^\ast }^T \\ {b_2^\ast }^T \\ \vdots \\ {b_n^\ast }^T \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1^\ast \\ x_2^\ast \\ \vdots \\ x_n^\ast \end{bmatrix}$$

  设近似系统状态变量：

$$x^\ast(t)=\begin{bmatrix} x_1^\ast(t) \\ x_2^\ast(t) \\ \vdots \\ x_n^\ast(t) \end{bmatrix}\tag{7}$$

  系统矩阵：

$$\Lambda=\begin{bmatrix}\lambda_1& & & \\ &\lambda_2 & & \\& & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix}\tag{8}$$

  输入矩阵：

$$B^\ast=\begin{bmatrix} {b_1^\ast }^T \\ {b_2^\ast }^T \\ \vdots \\ {b_n^\ast }^T \end{bmatrix}\tag{9}$$

  结合式(7)~(9)，我们可以将式(1)近似为：

$$x^\ast(t)=\Lambda x^\ast(t)+B^\ast u(t),\ t> 0,\ x^\ast(0)=x_0^\ast\in\Bbb{C}^n\tag{10}$$

  下面我们再来看式(2)，根据式(2)(6)，得到$y(t)$的近似值$y^\ast(t)$：

$$y^\ast(t)=\sum_{i=1}^nx_i^\ast(t){\cal C}\phi_i$$

  将其向量化后得到：

$$y^\ast(t)=\begin{bmatrix}{\cal C}\phi_1 & \cdots & {\cal C}\phi_n\end{bmatrix}x^\ast(t)$$

  设输出矩阵：

$$C^\ast=\begin{bmatrix}{\cal C}\phi_1 & \cdots & {\cal C}\phi_n\end{bmatrix}\tag{11}$$

  因此式(2)可以近似为：

$$y^\ast(t)=C^\ast x^\ast(t),\ t\geq 0\tag{12}$$

  将式(10)(12)合并，就是近似后的有限维集总参数系统：

$$\begin{eqnarray} x^\ast(t)&=&\Lambda x^\ast(t)+B^\ast u(t),\ &t> 0,\ x^\ast(0)=x_0^\ast\in\Bbb{C}^n\tag{13}\\ y^\ast(t)&=&C^\ast x^\ast(t),\ &t\geq 0\tag{14} \end{eqnarray}$$

  此后我们就能够使用现代控制中的方法对它进行分析或控制了。

注意事项

  在上述过程中，我们取了$\cal A$的前$n$个特征元素作为系统的近似，只保留了系统的部分信息，因此在实际控制中会存在一些偏差（spillover），并且在一定程度影响系统的稳定值，这也是early-lumping的最大缺陷。$n$越大，系统舍弃的信息越少，偏差也会越小，故在实际使用中通常会取相对较大的$n$值来减少偏差的影响。
  系统近似后，我们使用现代控制相应方法设计控制器。但由于控制器是根据近似后系统得到的，因此若中途更改$n$值，需要根据改变后的状态方程重新设计控制器，这也是early-lumping的缺陷所在。另外提一句，我们这里得到的系统矩阵为$n\times n$，用同样的方法也能将原始系统算子转化为矩阵，只不过此时矩阵的维度为无限维。

小结

1. 通过取前$n$个特征元素将分布参数系统近似为集总参数系统。
2. 近似系统的一些注意事项。