分布参数系统控制（六）：反馈控制

  在控制理论中，稳定性始终是一个系统最基本的要求，之后一切的控制都要建立在系统稳定的基础上。与集总参数系统控制类似，我们可以通过增加反馈使系统达到稳定状态，并满足一定特性。分布参数系统状态方程如下：

$$\dot{x}(t)={\cal A}x(t)\tag{1}$$

指数稳定

  首先我们给出分布参数系统的指数稳定（Exponentielle Stabilität）的定义：若存在常数$M\geq 1,\alpha>0$，使得系统状态变量$x(t)$满足：

$$||x(t)||\leq Me^{-\alpha t }x_0,\ t\geq 0,\ \forall x_0\in {\cal H}\tag{2}$$

  则我们称系统指数稳定。其中范数$||x||$由内积定义：

$$||x||=\sqrt{\langle x,x\rangle}=\sqrt{\int_0^1|x(z)|^2{\Bbb d}z}$$

  为了更好地描述系统稳定性，我们定义稳定裕量（Stabilitätsreserve）$\alpha_{stab}$为衰减率$\alpha$的下确界（相当于最小值），它可以用来表示$x(t)$趋向于$0$的速度。若$\alpha_{stab}>0$，则系统指数稳定。
  根据第三章节式(13)：

$$\begin{split} x(t)&=&\sum_{i=1}^{\infty}e^{\lambda_it}\phi_ix_i^\ast (0)\\&\leq& e^{(\sup_{i\geq 1} {\rm Re} \ \lambda_i)t}\sum_{i=1}^{\infty}\phi_ix_i^\ast (0)\\&=&e^{(\sup_{i\geq 1} {\rm Re} \ \lambda_i)t}x(0)\end{split}\tag{3}$$

  我们得到Riesz-Spektral系统的稳定裕量：

$$\alpha_{stab}=-\sup_{i\geq 1}{\rm Re}\lambda_i\tag{4}$$

  对一般系统来说，稳定裕量可表示为：

$$\alpha_{stab}=-\sup_{\lambda\in\sigma({\cal A})}{\rm Re}\lambda\tag{5}$$

  根据式(5)我们就可以得到系统指数稳定的条件：$\sup_{\lambda\in\sigma({\cal A})}{\rm Re}\lambda<0$，也就是说${\cal A}$的谱集（特征值）要在复平面的左半平面，这与集总参数系统类似。

状态反馈

反馈算子

  状态反馈的目的就是将原系统算子的谱集移动到复平面左半平面，使得系统稳定。它需要给系统增加一个输入$u(t)$，并且$u(t)$由系统状态变量决定。增加输入后的系统可表示为：

$$\begin{eqnarray} \dot{x}(t)&=&{\cal A}x(t)+{\cal B}u(t)\tag{6}\\ u(t)&=&-{\cal K}x(t)\tag{7} \end{eqnarray}$$

  其中$\cal K$为反馈算子（Rückführoperator），它将系统变量$x(t)$映射为一个$p$维向量。根据里斯表示定理（Rieszscher Darstellungssatz）：每个${\cal H}\to {\Bbb C}$的泛函$f$，都存在一个定义域上的函数$\xi_0$，使得$f(\cdot)=\langle\ \cdot,\xi_0\rangle$。也就是说，泛函空间的每个函数都可以表示为内积的形式。因此$\cal K$可以表示为：

$${\cal K}=\begin{bmatrix}\langle\ \cdot\ ,k_1\rangle \\ \vdots \\ \langle\ \cdot\ ,k_p\rangle\end{bmatrix}\tag{8}$$

  其中$k_1,…,k_p$均为定义域上函数，它们可以在状态空间中分解：

$$k_i=\sum_{j=1}^{\infty}\langle k_i,\phi_j\rangle\psi_j=\sum_{j=1}^{\infty}k_{ij}^{\ast}\psi_j\tag{9}$$

  这里要注意，式(9)的分解与之前不同，它是以${\cal A}^\ast$的特征元素$\psi_i$为基进行的，至于原因纯粹是为了之后的计算。
  将输入$u(t)$带入原系统得到：

$$\dot{x}(t)=({\cal A-BK})x(t)=\tilde{\cal A}x(t)\tag{10}$$

  通过状态反馈，我们将原系统算子$\cal A$变成了$\tilde{\cal A}$，并且希望$\tilde{\cal A}$的谱集在复平面左半平面。

系统可稳定条件

  系统可稳定条件（Stabilisierbarkeit）是反馈能够有效的前提，它包含如下条件：
  1. 原系统算子$\cal A$在右半平面只有有限个特征值。
  2. 系统能控。
  3. 左半平面特征值不能无限趋近于虚轴。
  由于分布参数系统是无限维的，故$\cal A$可能有无限个$\lambda$在右半平面，仅使用$p$维输入无法将它们全部移动到理想位置，因此系统需要满足条件一。我们设系统前$n$个特征值$\lambda_1,…,\lambda_n$在右半平面，其余$\lambda$均在左半平面，因此反馈只需要改变前$n$个$\lambda$，而其余特征值保持不变：

$$\begin{matrix}{\cal A} && \lambda_1 && ... && \lambda_n && \lambda_{n+1} && \lambda_{n+2} && ... \\ \downarrow && \downarrow && && \downarrow && \downarrow && \downarrow && \\ \tilde{\cal A} && \tilde{\lambda}_1 && ... && \tilde{\lambda}_n && \lambda_{n+1} && \lambda_{n+2} && ... \end{matrix}$$

  由于$\lambda_i(i>n)$同时是$\cal A$与$\tilde{\cal A}$的特征值，因此满足：

$$\begin{eqnarray} &&({\cal A-BK})\phi_i=\lambda_i\phi_i,\ i>n\\ \Rightarrow&&{\cal BK}\phi_i=0,\ i>n\\ \Rightarrow&&\begin{bmatrix}\langle \phi_i,k_1\rangle\\ \vdots \\ \langle \phi_i,k_p\rangle\end{bmatrix}=0,\ i>n \end{eqnarray}$$

  其中：

$$\begin{split} \langle \phi_i,k_j\rangle&=\langle \phi_i,\sum_{l=1}^{\infty}k_{jl}^{\ast}\psi_l\rangle\\ &=\sum_{l=1}^{\infty}\overline{k_{jl}^{\ast} }\langle\phi_i,\psi_l\rangle\\ &=\sum_{l=1}^{\infty}\overline{k_{jl}^{\ast} }\delta_{il}\\ &=\overline{k_{ji}^{\ast} }=0,\ i>n \end{split}$$

  因此式(9)转化为：

$$k_i=\sum_{j=1}^{\infty}k_{ij}^{\ast}\psi_j=\sum_{j=1}^nk_{ij}^{\ast}\psi_j\tag{11}$$

  同时$\cal K$能够表示为：

$$\begin{split} {\cal K}&=\begin{bmatrix}\langle\ \cdot\ ,k_1\rangle \\ \vdots \\ \langle\ \cdot\ ,k_p\rangle\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\langle\ \cdot\ ,\sum_{j=1}^nk_{1j}^{\ast}\psi_j\rangle \\ \vdots \\ \langle\ \cdot\ ,\sum_{j=1}^nk_{pj}^{\ast}\psi_j\rangle\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sum_{j=1}^n\overline{k_{1j}^{\ast} }\langle\ \cdot\ ,\psi_j\rangle \\ \vdots \\ \sum_{j=1}^n\overline{k_{pj}^{\ast} }\langle\ \cdot\ ,\psi_j\rangle\end{bmatrix}\\ &=\underbrace{\begin{bmatrix}\overline{k_{11}^{\ast} } && \overline{k_{12}^{\ast} } && \cdots && \overline{k_{1n}^{\ast} }\\ \vdots && \vdots && \ddots && \vdots\\ \overline{k_{p1}^{\ast} } && \overline{k_{p2}^{\ast} } && \cdots && \overline{k_{pn}^{\ast} }\end{bmatrix} }_{\overline{K^{\ast} }(p\times n)} \begin{bmatrix}\langle\ \cdot\ ,\psi_1\rangle \\ \vdots \\ \langle\ \cdot\ ,\psi_n\rangle\end{bmatrix} \end{split}$$

  通过上述推导我们将反馈算子$\cal K$转化为了反馈矩阵$\overline{K^{\ast} }$与一个算子的乘积，其中算子是原系统决定的，因此$\cal K$只由$\overline{K^{\ast} }$决定。接下来我们只要设计反馈矩阵就能得到相应的反馈算子。若将反馈算子作用于状态变量：

$${\cal K}x(t)=\sum_{i=1}^{\infty}x_i^{\ast}{\cal K}\phi_i=\overline{K^{\ast} }\begin{bmatrix}x_1^{\ast} \\ \vdots \\ x_n^{\ast} \end{bmatrix}$$

  我们发现$\cal K$对前$n$项的$\phi_i$都有相应反馈，并且反馈到$p$个输入的大小分别为：$\overline{k_{1i}^{\ast} },\overline{k_{2i}^{\ast} },…,\overline{k_{pi}^{\ast} }$，以此来移动前$n$个特征值；同时对其余$\phi_i$均无反馈，故其余特征值保持不变。

系统能控性条件

  系统可稳定条件中条件二要求系统是能控的，这里我们直接给出系统能控性条件，其证明能够在之后的推导过程中得到。
  在反馈控制中我们使用${\cal B}u(t)$来控制前$n$个特征值$\lambda_1,…,\lambda_n$，其中：

$${\cal B}u(t)=\sum_{i=1}^pb_iu_i(t)=\sum_{i=1}^{\infty}\phi_ib_i^{\ast}u(t)$$

  系统能控的条件为：$B^{\ast}$无零行。其中$B^{\ast}$定义如下：

$$B^{\ast}=\begin{bmatrix}{b_1^{\ast} }^T \\ \vdots \\ {b_n^{\ast} }^T\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\langle b_1,\psi_1\rangle && \cdots && \langle b_p,\psi_1\rangle\\ \vdots && \ddots && \vdots \\ \langle b_1,\psi_n\rangle && \cdots && \langle b_p,\psi_n\rangle\end{bmatrix}\tag{12}$$

反馈矩阵计算

  现在就剩设计有限维的反馈矩阵了。我们利用反馈后系统算子$\tilde{\cal A}$的特征值$\tilde{\lambda}_1,…,\tilde{\lambda}_n$与特征向量$\tilde{\phi}_1,…,\tilde{\phi}_n$，得到：

$$\begin{eqnarray} &&({\cal A-BK})\tilde{\phi}_i=\tilde{\lambda}_i\tilde{\phi}_i,\ i=1,2,...,n\tag{13}\\ \Rightarrow&&(\tilde{\lambda}_iI-{\cal A})\tilde{\phi}_i=-{\cal BK}\tilde{\phi}_i\tag{14} \end{eqnarray}$$

  在这里我们引入参数向量（Parametervektoren）$p_i$，它是一个$p$维向量：

$$p_i={\cal K}\tilde{\phi}_i=\overline{K^{\ast} }\begin{bmatrix}\langle\tilde{\phi}_i,\psi_1\rangle \\ \vdots \\ \langle\tilde{\phi}_i,\psi_n\rangle\end{bmatrix}=\overline{K^{\ast} }\tilde{v}_i\tag{15}$$

  其中：

$$\tilde{v}_i=\begin{bmatrix}\langle\tilde{\phi}_i,\psi_1\rangle \\ \vdots \\ \langle\tilde{\phi}_i,\psi_n\rangle\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_{i1}^{\ast} \\ \vdots \\ c_{in}^{\ast}\end{bmatrix}\tag{16}$$

  将$p_i$合并得到：

$$[p_1,...,p_n]=\overline{K^{\ast} }[\tilde{v}_1,...,\tilde{v}_n]=\overline{K^{\ast} }\tilde{V}\tag{17}$$

  在这里我们先来看看这些$p_i$、$\tilde{v}_i$具体表示什么意义。首先看$p_i$，根据式(15)定义我们可以知道$p_i$表示状态变量$x=\tilde{\phi}_i$时的反馈量。而一般情况下状态变量可由基$\tilde{\phi}_i$排列组合而成：

$$x=\sum_{i=1}^{\infty}\tilde{x}_i^{\ast}\tilde{\phi}_i$$

  取前$n$个$\tilde{x}_i^{\ast}$为$x$的坐标（由于$n$项之后的特征向量均没有反馈，故省略），则$x$所产生的反馈量为：

$$\begin{split} {\cal K}x&=\sum_{i=1}^n{\cal K}\tilde{\phi}_i\tilde{x}_i^{\ast}=\sum_{i=1}^np_i\tilde{x}_i^{\ast}\\ &=[p_1,...,p_n]\begin{bmatrix}\tilde{x}_1^{\ast} \\ \vdots \\ \tilde{x}_n^{\ast} \end{bmatrix} \end{split}\tag{18}$$

  同样状态变量也可由基$\phi_i$排列组合而成：

$$x=\sum_{i=1}^{\infty}x_i^{\ast}\phi_i$$

  根据$\cal K$定义，$x$所产生的反馈量也可以表示为：

$${\cal K}x=\overline{K^{\ast} }\begin{bmatrix}x_1^{\ast} \\ \vdots \\ x_n^{\ast} \end{bmatrix}\tag{19}$$

  根据式(17)~(19)可以得到：

$$[\tilde{v}_1,...,\tilde{v}_n]\begin{bmatrix}\tilde{x}_1^{\ast} \\ \vdots \\ \tilde{x}_n^{\ast} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1^{\ast} \\ \vdots \\ x_n^{\ast} \end{bmatrix}$$

  因此$[\tilde{v}_1,…,\tilde{v}_n]$实际上就是从基$\tilde{\phi}$到基$\phi$的坐标变换矩阵。而$c_{i1}^{\ast},…,c_{in}^{\ast}$则表示新特征向量$\tilde{\phi}_i$在基$\phi$下前$n$个坐标。
  搞清楚符号含义后我们就要根据新定义的$p_i$、$\tilde{v}_i$来得到反馈矩阵了。假设新特征值$\tilde{\lambda}_i$没有重复，并且与原特征值$\lambda$不相等，则$\tilde{v}_1,…,\tilde{v}_n$线性无关（可用反证法证明），$\tilde{V}$存在逆矩阵。又根据式(17)可以得到：

$$\overline{K^{\ast} }=[p_1,...,p_n] [\tilde{v}_1,...,\tilde{v}_n]^{-1}\tag{20}$$

  现在我们需要在式(20)中将$\tilde{v}_i$消去。根据式(14)(15)：

$$\begin{eqnarray} \tilde{\phi}_i&=&({\cal A}-\tilde{\lambda}_iI)^{-1}{\cal B}p_i\tag{21}\\ &=&\sum_{j=1}^{\infty}{\langle {\cal B}p_i,\psi_j\rangle \over \lambda_j - \tilde{\lambda}_i}\phi_j\tag{22}\\ &=&\sum_{j=1}^{\infty}{ {b_j^{\ast} }^Tp_i \over \lambda_j - \tilde{\lambda}_i}\phi_j\tag{23} \end{eqnarray}$$

  其中式(21)推导式(22)时用到了下列等式（可以通过状态空间分解证明）：

$$(\lambda I-{\cal A})^{-1}=\sum_{i=1}^{\infty}{\langle \ \cdot\ ,\psi_i\rangle \over \lambda - \lambda_i}\phi_i$$

  由于$c_{ij}^{\ast}$为$\tilde{\phi}_i$在基$\phi_j$下的坐标，因此$\tilde{\phi}_i$又可表示为：

$$\tilde{\phi}_i=\sum_{j=1}^{\infty}c_{ij}^{\ast}\phi_j\tag{24}$$

  将式(23)(24)联立得到：

$$c_{ij}^{\ast}={ {b_j^{\ast} }^Tp_i \over \lambda_j - \tilde{\lambda}_i}\tag{25}$$

  带入式(16)中：

$$\begin{split} \tilde{v}_i&=\begin{bmatrix}c_{i1}^{\ast} \\ \vdots \\ c_{in}^{\ast}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{ {b_1^{\ast} }^Tp_i \over \lambda_1 - \tilde{\lambda}_i} \\ \vdots \\ { {b_n^{\ast} }^Tp_i \over \lambda_n - \tilde{\lambda}_i}\end{bmatrix}\\ &=\underbrace{\begin{bmatrix}{ 1 \over \lambda_1 - \tilde{\lambda}_i} && && \\ && \ddots && \\ && && { 1 \over \lambda_n - \tilde{\lambda}_i}\end{bmatrix} }_{(\Lambda-\tilde{\lambda}_i I)^{-1} }\underbrace{\begin{bmatrix}{b_1^{\ast} }^T \\ \vdots \\ {b_n^{\ast} }^T\end{bmatrix} }_{B^{\ast} }p_i \end{split}$$

  因此：

$$\tilde{v}_i=(\Lambda-\tilde{\lambda}_i I)^{-1}B^{\ast}p_i\tag{26}$$

  式(26)带入式(20)得到$\overline{K^{\ast} }$的最终结果：

$$\overline{K^{\ast} }=[p_1,...,p_n] [(\Lambda-\tilde{\lambda}_1 I)^{-1}B^{\ast}p_1,...,(\Lambda-\tilde{\lambda}_n I)^{-1}B^{\ast}p_n]^{-1}\tag{27}$$

  式(27)可以得到系统能控性条件的证明：若$B^{\ast}$有全零行，则式(27)最后项无法取逆，因此$B^{\ast}$不能有全零行。同时它表明，要设计一个反馈我们只需要设计$\tilde{\lambda}$和$p$就可以了。

反馈控制设计条件

  1. 原算子$\cal A$只有有限$\lambda>0$。
  2. 系统能控。
  3. $\cal A$的其余$\lambda$不能无限接近虚轴。
  4. 设计后$\tilde{\cal A}$的特征值$\tilde{\lambda}$为实数或为成对出现的虚数，且相互不重合。
  5. $\tilde{\lambda}$不与$\cal A$的特征值或特征值聚点重合。
  6. 若$\tilde{\lambda}_i=\overline{\tilde{\lambda}_j }$，则需满足$p_i=\overline{p_j}$。
  7. 选取$\tilde{\lambda}$与$p$时，需保证$\tilde{v}$线性不相关。
  以上将反馈控制设计条件做了一个总结，其中前三条为对原算子$\cal A$的要求，后四条为对$\tilde{\lambda}$与$p$的要求。

小结

1. 分布参数系统指数稳定条件与集总参数系统类似，要求谱集位于复平面的左半平面。
2. 设置$\tilde{\lambda}$和$p$来得到反馈算子。
3. 反馈控制设计需满足一定条件。